三维 Anosov 流的 Floer 理论

闭定向三维流形 $M$ 上的光滑 Anosov 流通过 Mitsumatsu 与 Hozoori 的构造，在四维流形 $[-1,1]\times M$ 上产生一个非 Weinstein 的 Liouville 结构。我们称之为相伴 Anosov Liouville 域。它在同伦意义下良定义，且仅依赖于原 Anosov 流的同伦类；其辛不变量因而是该流的不变量。我们通过包裹 Fukaya 范畴研究 Anosov Liouville 域的辛几何，我们期望其成为 Anosov 流的一个强有力不变量。简单闭轨道上的 Lagrangian 柱面张成一个自然的 $A_\infty$-子范畴，即该流的轨道范畴。我们证明它不满足 Abouzaid 的生成准则； moreover 它‘非常大’，在不是由任何严格子族分裂生成的意义上。这与 Weinstein 情形形成对比，其中 Morse 函数的临界点扮演轨道的角色。对于对应于环面上线性 Anosov 微分同胚的悬垂的域，我们证明不存在可定向、射影平面或 Klein 瓶的闭精确 Lagrangian。相反，在亏格 $g \geq 2$ 的双曲曲面上测地流的情形（对应于 McDuff 例子），我们为每条嵌入闭测地线构造一个精确 Lagrangian 环面，从而得到至少 $3g-3$ 个彼此非哈密顿同伦的环面。对于这两类原型 Anosov 流，我们显式计算了相伴域的辛上同调，以及 Lagrangian 柱面的包裹 Floer 上同调，和若干 pair-of-pants 积。