Anosov 流上关于微分形式的 Liv\v{s}ic 方程及其应用

本文旨在探讨 Anosov 流在闭流形 $M$ 上的几何性质与其无限生成元 $X$ 作为线性算子作用于全秩微分形式空间时的分析性质之间的关系。特别是我们研究 Anosov 流上 Liv\v{s}ic 方程 $L_X \xi = \eta$ 在微分形式空间上的可解性，证明例如：当 Anosov 流是 \emph{非对称}的时，方程在 $2 \leq k \leq n-2$（其中 $n = \dim M$）的秩中具有唯一连续解。直观地说，Anosov 流是非对称的，当在负时间下，当其中至少一个侧在强不稳定方向时，任意 $(n-2)$ 维棱柱体的体积会指数级快速收缩。作为应用，我们表明对于体积保守的非对称 Anosov 流，以下结果成立：其在秩 $(n-1)$ 上的 $L^2$-闭像包含 $L^2$-精确 $(n-1)$ 维形式空间当且仅当该流的强束合成唯一可积，此时该流因此是到 Anosov 微分分解的悬挂体的拓扑共轭。