Anosov 流空间上的一类 Hofer 型度量

本文在 Anosov 向量场空间 $\An(M)$ 上构造了一族 Hofer 型度量（$\dAnV{V}$），其基于使用 $\Ck{k}$ 或 Sobolev $\SobolevHk{k}$ 范数的形变路径代价，提供了与动力学相关的距离。我们建立了若干基本性质，包括当 $V= C^r$（$r \ge 1$）或 $H^k$（$k > \dim(M)/2+1$）时的完备性，以及在微分同胚下的自然性。我们通过证明定量稳定性结果来展示这些度量的效用：$\dAnV{V}$ 中的邻近性蕴含对基本动力学不变量的受控变化，包括拓扑熵、李雅普诺夫指数、SRB 测度、热力学压力、谱隙（混合速率）以及 zeta 函数。足够的正则性保证局部 Lipschitz 连续性与 Fréchet 可微性，将度量结构与线性响应公式联系起来，特别是针对压力、指数和谱隙。虽然 Sobolev 度量产生具有直线测地线的局部平坦几何，但该框架具有广泛的适用性。我们探讨了其对 Anosov 流模空间的推论，包括不变量的稳定性以及局部切片定理的框架。此外，我们引入了\emph{拓扑 Anosov 流}，其通过生成向量场的同步一致流收敛与 $\dAn$ 度量收敛来定义。这一新类别旨在刻画非光滑情形中的本质双曲特征。总体而言，所提出的度量为分析 Anosov 动力学的稳定性、分类及可能的推广提供了若干几何视角。