单位圆盘上 Apollonian 弱度量的 Finsler 结构

本文求出了 $\mathbb{R}^2$ 中开单位圆盘上 Apollonian 弱度量的 Finsler 结构，结果表明其为 Randers 型 Finsler 结构，我们称之为 Apollonian 弱 Finsler 结构。事实上，Apollonian 弱 Finsler 结构是单位圆盘中的双曲 Poincaré 度量经由闭 $1$-形式形变得到的。作为推论，该 Apollonian 弱 Finsler 结构的测地线轨迹与开单位圆盘中双曲 Poincaré 度量的测地线逐点重合。进一步，我们显式计算了其 $S$-曲率、Riemann 曲率、Ricci 曲率和 flag 曲率。结果表明，单位圆盘中 Apollonian 弱 Finsler 结构的 $S$-曲率具有下界 $\frac{3}{2}$，而其 flag 曲率 $K$ 满足 $\frac{-1}{4}\leq K<2$。