超临界Galton-Watson树上随机偏向游走的最常访问点

Erdős和Révész通过考虑一维简单随机游走开创了对最常访问点的研究。本文在超临界Galton-Watson树上的一类零常返随机偏向游走中研究同一问题。我们证明存在某个参数$\kappa \in (1, \infty]$，使得偏向游走的最常访问点集合在$\kappa \in (2, \infty]$情形下几乎必然有界，在$\kappa=2$情形下是紧的，而在$\kappa \in (1, 2)$情形下在根的邻域与值域边界之间振荡。此外，我们的结果对$\kappa \in (2, \infty]$情形下最常访问点集合的基数给出了完整答案。证明依赖于对局部时过程关于空间变量的马尔可夫性质的探索，以及对局部时最大值的精确尾估计，其中使用了多类型Galton-Watson树的测度变换。