平面非局部曲率流的变厚与非变厚现象

我们讨论了平面曲线依据其非局部曲率的演化中的变厚现象。更确切地说，我们考虑一类广义曲率，其对应于适当的非局部周长泛函的一阶变分，该泛函由相互作用核 $K$ 定义，其中 $K$ 是对称的、非负的、可能在原点处奇异，并满足适当的可积性条件。我们证明了关于从具有正 $K$-曲率的规则集合出发的几何演化唯一性的一般结果，并讨论了从十字形出发的演化中的变厚现象，表明该现象对相互作用的强度非常敏感。事实上，我们证明了对于在原点附近具有足够大质量的核，十字形会发生变厚，而对于在原点附近足够弱的核，则不会发生此种变厚现象。我们还给出了分数阶平均曲率流情况下的若干进一步结果，表明严格星形的集合具有唯一的几何演化。此外，我们给出了两个说明性的非规则闭曲线例子，第一个具有 Lipschitz 型奇点，第二个具有尖点型奇点（由两等半径相切圆给出），其演化在第一种情况下出现变厚，而在第二种情况下唯一确定，从而彰显了变厚现象对初始数据正则性的高度敏感性。后一例子与（局部）曲率流这一经典情形形成鲜明对比，在经典情形中两相切圆总是会出现变厚。作为我们分析的一个副产品，我们还给出了一个简单证明：十字形并非与 $K$ 相关的非局部周长泛函的 $K$-极小集合。