曲率测度的标度指数
度量几何
2014-01-14 v2
摘要
R^d 子集 F 的分形曲率大致定义为当 e 趋于 0 时，其平行集 F_e 的总曲率经适当重缩放后的极限；近年来，针对自相似集和自共形集对此进行了研究。先前的工作侧重于在一般情形下建立（平均）分形曲率及相关分形曲率测度的存在性，此时第 k 个曲率测度 C_k(F_e,.) 的标度形式为 e^(k-D)，其中 D 为 F 的 Minkowski 维数。在本文中，我们研究了标度指数与维数不一致的非一般情形。我们证明了非一般行为的可能性相当有限，并引入了“局部平坦性”的概念，该概念允许对 R 和 R^2 中的非一般性进行几何刻画。我们预期局部平坦性在高维空间中同样具有特征性。这些结果阐明了标度指数的几何意义。
引用
@article{arxiv.1307.5053,
title = {Scaling exponents of curvature measures},
author = {Dusan Pokorny and Steffen Winter},
journal= {arXiv preprint arXiv:1307.5053},
year = {2014}
}
备注
31 pages, 8 figures, revised version, to appear in J. Fractal Geometry