对称树上简单随机游动局部时的极值

我们考虑深度为 $n$ 的 $b$ 叉树上的简单随机游动的局部时，并研究一个点过程，该过程编码了具有最大局部时的顶点位置，以及以 $(n-r_n)$ 层为根、深度为 $r_n$ 的每个子树在叶子上的适当中心化最大值，其中 $(r_n)_{n \geq 1}$ 满足 $\lim_{n \to \infty} r_n = \infty$ 且 $\lim_{n \to \infty} r_n/n \in [0, 1)$。我们证明该点过程弱收敛于一个 Cox 过程，其强度测度为 $\alpha Z_{\infty} (dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}~y}dy$，其中 $\alpha > 0$ 为常数，$Z_{\infty}$ 是 $[0, 1]$ 上的一个随机测度，其分布与临界随机乘性级联测度极限相差一个比例因子。作为推论，我们建立了叶子上局部时最大值依分布收敛于一个随机平移的 Gumbel 分布。