关于随机风景中随机过程的局部时

随机风景中的随机游走是由 $Z_n:=\sum_{k=1}^n\xi_{X_1+...+X_k}$ 定义的过程，其中 $(X_k,k\ge 1)$ 和 $(\xi_y,y\in\mathbb Z)$ 基本上是两列独立的独立同分布随机变量。我们假设 $X_1$ 是整数值、中心化且具有所有阶有限矩。我们还假设 $\xi_0$ 是整数值、中心化且平方可积。在这种情况下，H. Kesten 和 F. Spitzer 证明了当 $n\to \infty$ 时，$(n^{-3/4}Z_{[nt]},t\ge 0)$ 依分布收敛到某个自相似过程 $(\Delta_t,t\ge 0)$，称为随机风景中的布朗运动。在之前的一篇论文中，我们证明了当 $n\to \infty$ 时，${\mathbb P}(Z_n=0)$ 渐近地表现为常数乘以 $n^{-3/4}$。我们在此推广了这个局部极限定理：我们给出了 $Z$ 在多个时刻同时返回零的概率的精确渐近结果。作为计算的副产品，我们证明了 $\Delta$ 的局部时过程存在一个双连续版本，该版本在时间变量上局部 Hölder 连续阶为 $1/4-\delta$，在空间变量上为 $1/6-\delta$，对任意 $\delta>0$。特别地，这给出了 Khoshnevisan 先前得到的一个事实的新证明，即 $\Delta$ 的水平集几乎必然具有 Hausdorff 维数 1/4。我们还得到了 $Z$ 的归一化局部时的每个矩向连续对应矩的收敛性。