随机游走与高斯自由场的厚点

我们考虑随机游走的厚点，即局部时间为最大值一部分的点。在二维情形，我们回答了 Dembo、Peres、Rosen 和 Zeitouni 的一个问题，并在增量对称且具二阶有限矩的假设下，计算了平面随机游走厚点的数目。证明基于与高斯自由场联系给出了简洁的论证，并适用于包括等径图在内的非常一般的情形。在高维情形，我们研究厚点的标度极限。特别地，我们证明重标度后的厚点数目收敛于一个非退化随机变量，且局部时间的中心化最大值收敛于一个随机平移的 Gumbel 分布。