平面域上离散时间随机游走的例外点

给定有界连续域 $D\subset\mathbb R^2$ 的一列格点逼近 $D_N\subset\mathbb Z^2$，并将 $D_N$ 之外的顶点融合为一个边界顶点 $\varrho$，我们考虑在 $D_N\cup\{\varrho\}$ 上的离散时间简单随机游走，其运行时间与期望覆盖时间成正比，并描述厚点、薄点、光点与回避点的例外水平集的缩放极限。我们证明，除去一个依赖于空间的对数正态因子外，这些水平集的分布如同 $D$ 中的零均值 Liouville 量子引力测度。同时也确定了例外点处及附近的局部时间构型的极限律。这些结果推广了前两位作者早期的工作，他们分析了以 $\varrho$ 处局部时间为参数的连续时间问题。作为证明的一部分，推导了一个关于可分解随机测度、特别是高斯乘性混沌的新颖唯一性结果。