小截面稳态涡环的存在性、唯一性与稳定性

本文研究均匀密度理想流体中的稳态涡环，其为三维不可压缩欧拉方程的特殊全局轴对称解。我们系统地建立了核内位涡恒定的小截面稳态涡环的存在性、唯一性与非线性轨道稳定性。后两者回答了自Fraenkel与Berger的开创性工作\cite{BF1}（Acta Math., 1974）以来的一个长期问题。为实现目标，我们将涡环的Stokes流函数按其截面半径重新标度，并在著名的Rankine涡处用Taylor公式展开，其中系数估计通过依据Green函数与局部Pohozaev恒等式的分解获得。主要观察为：流函数关于$z$方向平移不变且为偶函数；其展开式中线性项$r$系数零点决定了涡环的渐近位置，该零点作为Lyapunov-Schmidt约化论证中消除退化方向的存在性条件出现；前述零点处二阶$r$系数非零条件被验证为唯一性的本质因素之一，而其负性意味着这些涡环使由动能与冲量构成的函数取极大。通过应用Arnol'd对偶变分原理并结合唯一性结果，我们最终证明了薄涡环的非线性轨道稳定性。该结果给出了一大类支撑于拓扑环面上的稳定涡环，不同于Choi \cite{Choi20}（Comm. Pure Appl. Math., 2023）所讨论的Hill球涡。