黎曼流形上自 Cheeger 集的存在性

设 $(\mathcal{M}, g)$ 为维数 $N\geq 2$ 的紧致黎曼流形。我们证明了 $(\mathcal{M}, g)$ 中存在一族自 Cheeger 集 $(\Omega_\varepsilon)_{\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)}$。这些区域 $\Omega_\varepsilon\subset\mathcal{M}$ 是以 $p \in \mathcal{M}$ 为圆心、半径为 $\varepsilon$ 的测地球的扰动；特别地，若 $p_0$ 是 $g$ 的数量曲率的非退化临界点，则该族 $( \partial\Omega_\varepsilon)_{\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)}$ 构成 $p_0$ 某邻域的光滑叶状结构。