黎曼自相关函数及其在非局部等周能量中的应用

我们研究了球面$M = S^n$上的一族非局部等周能量$E_{\gamma,\varepsilon}$，其中非局部相互作用核$K_\varepsilon$是Helmholtz算子$1 - \varepsilon^2 \Delta$的基本解。为了分析这些能量，我们引入了一个与可测集$\Omega\subset M$相关联的黎曼自相关函数$c_\Omega$，该函数定义在任何无边界、紧致、连通、可定向的$n\ge2$维黎曼流形$(M^n,g)$上。此函数与凸几何中Matheron的集合协方差图密切相关。通过建立有界变差函数$BV(M)$关于测地差商的刻画，我们证明了$\Omega$具有有限周长当且仅当$c_\Omega$是Lipschitz的，并将Lipschitz常数与$\Omega$的周长联系起来。我们证明了在球面上，$E_{\gamma,\varepsilon}$可以用$c_\Omega$重新表述，这使得我们能够在变分意义上，即在$\Gamma$-收敛的框架下，计算$\varepsilon \to 0$的极限。