带变号权函数的 $p$-分数阶 Laplace 算子多解的存在性

在本文中，我们研究如下 $p$-分数阶 Laplacian 方程 \begin{equation*} (P_{\la}) \left\{ \begin{array}{lr} - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dy = \la |u(x)|^{p-2}u(x) + b(x)|u(x)|^{\ba-2}u(x)\; \text{in}\; \Om \quad \quad\quad\quad \quad \quad\quad\quad\quad \quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n).\ \end{array} \quad \right. \end{equation*} 其中 $\Om$ 是 $\mb R^n$ 中具有光滑边界的有界区域，$n> p\al$，$p\geq 2$，$\al\in(0,1)$，$\la>0$，且 $b:\Om\subset\mb R^n \ra \mb R$ 是一个变号连续函数。我们证明了 $(P_{\la})$ 的非负解的存在性和多重性，这取决于参数 $\la$，而其变化情况分别对应于 $1<\ba<p$ 或 $p< \ba< p^{*}=\frac{np}{n-p\al}$。我们分别讨论了这两种情况。此外还获得了非存在性结果。