通过接触化构造例外实李代数 $\mathfrak{f}_4$ 与 $\mathfrak{e}_6$

在 Cartan 的博士论文中，有一个公式定义了 15 维空间中某个秩为 8 的向量分布，其自同构代数为单例外复李代数 $\mathfrak{f}_4$ 的分裂实形。Cartan 的公式写于 $\mathbb{R}^{15}$ 的标准笛卡尔坐标中。在本文中，我们解释了如何为任意括号生成分布 $\mathcal D$ 的平坦模型寻找类似公式，其符号代数 $\mathfrak{n}(\mathcal D)$ 为常数且为 2 步分次的，$\mathfrak{n}(\mathcal D)=\mathfrak{n}_{-2}\oplus\mathfrak{n}_{-1}$。该公式用某个线性代数方程组的解给出，该方程组由包含在 $\mathfrak{n}(\mathcal D)$ 的 0 阶 Tanaka 延拓 $\mathfrak{n}_0$ 中的李代数 $\mathfrak{n}_{00}$ 的两个表示 $(\rho,\mathfrak{n}_{-1})$ 和 $(\tau,\mathfrak{n}_{-2})$ 所确定。文中给出了大量例子，特别着重于对称群为单例外李代数 $\mathfrak{f}_4$ 与 $\mathfrak{e}_6$ 的实形的那些分布。