对称 Pascal 矩阵特征多项式的精确渐近性

我们获得了行列式 $\det_{1\leq r,s\leq L}[\binom{r+s-2}{r-1}+\exp(i\theta)\delta_{r,s}]$ 的精确渐近性。我们使用逆符号计算方法得到了直至主项相对阶数 $L^{-14}$ 的所有项的精确解析表达式。已知该行列式可用于循环对称平面分割的加权计数、某些恶意行走者族的加权计数，并且被猜想正比于周长为 $L$ 的圆柱上 O$(1)$ 环模型的一点函数。我们将结果应用于该环模型，给出了围绕一个点的环路数量的平均值及其涨落的精确渐近表达式。对于相关的键渗流模型，我们给出了一个点位于环绕偶数周长圆柱的簇上的概率的精确渐近表达式，以及一个点位于跨越奇数周长圆柱的簇上的概率的精确渐近表达式。