任意阶一维多调和算子的行列式

我们得到了区间 $(0,T)$ 上带 Dirichlet 边界条件且 $n$ 为正整数的多调和算子 $P_{n}=(-1)^{n} (\partial_x)^{2n}$ 的正则化谱行列式的显式表达式，并证明其满足渐近式 $\log{(\det P_{n})} = -n^2 \log{n} + \left[\frac{7\zeta(3)}{2\pi^2}+ \frac{3}{2}+\log\left(\frac{T}{4}\right)\right] n^2 + {\rm O}(n)$（当 $n$ 很大时）。这是对全体 $n$ 均成立的 $\log{(\det P_{n})}$ 的尖锐上下界的结果，这些上下界在 $n$ 阶项之前一致。这些结果构成了分析具有非常数系数的更一般算子的基础，并表明相应的行列式具有类似的渐近行为。