未煮熟面条的Buffon面条概率的下界估计

设 $\Cant_n$ 为中间一半Cantor集构造中的第 $n$ 代。$\Cant_n$ 的笛卡尔平方 $\K_n$ 由 $4^n$ 个边长为 $4^{-n}$ 的正方形组成。在单位正方形中随机投掷一根长针时，针与 $\K_n$ 相交的概率本质上是 $\K_n$ 投影的平均长度，也称为 $\K_n$ 的Favard长度。Bateman和Volberg \cite{BV} 的一个结果表明，该Favard长度的下界估计为 $c \frac{\log n}{n}$。我们可以在每个阶段将针弯曲，得到所谓的面条，并询问这些所谓的Buffon面条概率是否仍然满足一致的下界估计 $c \frac{\log n}{n}$。如果满足，我们称该面条序列为未煮熟面条。我们将定义几类面条并证明它们是未煮熟面条。特别地，我们关注面条为半径为 $r_n$ 的圆弧的情形。我们将证明，若 $r_n \geq 4^{\frac{n}{5}}$，则该圆弧为未煮熟面条。