魔方群直径的概率估计

魔方群的凯莱图直径是从最难初始配置还原魔方所需的最少转动次数。对于 2$\times$2$\times$2 魔方，其直径在半转度量下为 11，在四分之一转度量下为 14，在半四分之一转度量下为 19，在双四分之一转度量下为 10。对于 3$\times$3$\times$3 魔方，Rokicki 等人确定其直径在半转度量下为 20，在四分之一转度量下为 26。本研究表明，只要采用四分之一转度量，概率论中修改版的赠券收集者问题就能正确预测 2$\times$2$\times$2 和 3$\times$3$\times$3 魔方的直径。在半转度量下，2$\times$2$\times$2 和 3$\times$3$\times$3 魔方的直径分别被高估了 1 和 2；而对于在半四分之一转和双四分之一转度量下的 2$\times$2$\times$2 魔方，直径分别被高估了 2 和低估了 1。运用相同的概率逻辑，预测 4$\times$4$\times$4 和 5$\times$5$\times$5 魔方在四分之一转（半转）度量下的直径分别为 48（41）和 68（58），其精确确定远超经典超级计算的能力。结果表明，概率估计的直径服从近似公式 $\ln N / \ln r + \ln N / r$，其中 $N$ 是配置数，$r$ 是分支比。