量化 Johnson-Lindenstrauss 引理：布丰投针问题的启示

1733 年，法国的 Georges-Louis Leclerc（布丰伯爵）通过定义一个富有启发性的问题奠定了几何概率论的基础：将一根针随机投掷在由等距平行条纹组成的地面上，针落在两条条纹上的概率是多少？在本文中，我们表明该问题的解及其向 $N$ 维的推广，使我们能够发现 Johnson-Lindenstrauss (JL) 引理的一种量化形式，即一种结合了线性降维过程与精度为 $\delta>0$ 的均匀量化的形式。具体而言，给定一个包含 $S$ 个点的有限集 $\mathcal S \subset \mathbb R^N$ 和一个失真水平 $\epsilon>0$，只要 $M > M_0 = O(\epsilon^{-2} \log S)$，我们就可以（随机地）构造一个从 $(\mathcal S, \ell_2)$ 到 $(\delta\mathbb Z^M, \ell_1)$ 的映射，该映射近似保持 $\mathcal S$ 中点之间的成对距离。有趣的是，与常见的 JL 引理相比，该映射是拟等距的，并且我们在嵌入距离上观察到了加性和乘性两种失真。然而，这两种失真随着 $M$ 的增加而以 $O(\sqrt{(\log S)/M})$ 的速度衰减。此外，对于粗量化，即当 $\delta$ 相对于集合半径较大时，失真主要是加性的；而对于较小的 $\delta$，我们趋向于 Lipschitz 等距嵌入。最后，我们证明了存在一个从 $(\mathcal S, \ell_2)$ 到 $(\delta\mathbb Z^M, \ell_2)$ 的“近乎”拟等距嵌入。该嵌入涉及 $\mathcal S$ 中 $\ell_2$ 距离的非线性失真，且该失真对于集合中的远点会消失。值得注意的是，这种情况下的加性失真衰减较慢，其衰减速率为 $O(\sqrt[4]{(\log S)/M})$。