关于 Buffon-Laplace 针问题在 $\mathbb{R}^d$ 中的交点数概率

1974 年，Stoka 解了 $\mathbb{R}^d$（$d \ge 2$）中的 Buffon 针问题，即求长度为 $\ell$ 的线段（“针”）与距离为 $a\ge\ell$ 的平行超平面网格相交的概率的闭式解。对于 $\mathbb{R}^d$ 中的 Laplace 针问题，网格由 $d$ 族距离分别为 $a_1,\ldots,a_d$（满足 $\min(a_1,\ldots,a_d)\ge\ell$）的平行超平面组成，且法向量分别指向坐标轴 $x_1,\ldots,x_d$ 方向，Stoka 仅能求解针同时与所有族的超平面相交的闭式解。本文计算针与由 $d$ 族平行超平面构成的超矩形网格恰好相交 $i$（$0\le i\le d$）个点的概率 $p_d(i)$，并给出交点数目的期望值与方差。此外，本文还给出仿真程序及一些数值结果。