期望编辑距离的可计算界与蒙特卡洛估计

编辑距离是字符串间相异性的度量，广泛应用于计算生物学、语音识别和机器学习。令 e_k(n) 表示来自大小为 k 的字母表的 n 个字符的随机独立字符串之间的平均编辑距离。对于 k ≥ 2，如何高效计算 α_k(n) = e_k(n)/n 以及 α_k = lim_{n → ∞} α_k(n)（已知存在的极限）的精确值是一个开放问题。本文证明 α_k(n)-Q(n) ≤ α_k ≤ α_k(n)，其中特定 Q(n)=Θ(√(log n / n))，该结果意味着 α_k 是可计算的。探讨了 α_k(n) 的精确计算，得到一种运行时间 T=𝒪(n^2 k min(3^n, k^n)) 的算法，该复杂度使其实际用途有限。基于 McDiarmid 不等式提出了统计估计分析，展示了如何以良好精度、高置信水平和合理计算时间评估 α_k(n)，对于 n 值例如可达二十五万。相应地，获得了 α_k 宽度约为 10^{-2} 的 99.9% 置信区间。利用编辑脚本的组合论证解析刻画了 α_k 的一个可高效计算下界 β_k^*，使得 lim_{k → ∞} β_k^*=1。一般地，β_k^* ≤ α_k ≤ 1-1/k；对于大于几十的 k，计算 β_k^* 远快于生成宽度为 1-1/k-β_k^* 的良好统计估计。本文发展的技术改进了大多数先前发表的数值结果，并给出了先前未报道的字母表大小和字符串长度的结果。