四角Cantor集的Buffon投针概率的一个下界估计

设$\Cant_n$为中间二分之一Cantor集构造中的第$n$代。笛卡尔积$\K_n = \Cant_n \times \Cant_n$由$4^n$个边长为$4^{-n}$的小正方形组成。一根长针随机投掷到单位正方形中与$\K_n$相交的概率本质上等于$\K_n$投影的平均长度，也称为$\K_n$的Favard长度。Besicovitch的一个经典定理表明$\K_n$的Favard长度趋于零。确定其精确衰减速率仍是一个未解决问题。直到最近，唯一的显式上界是由Peres和Solomyak给出的$\exp(- c\log_* n)$。（$\log_* n$是从$n$开始反复取对数直到结果小于1所需的次数。）在Nazarov-Peres-Volberg的论文（arxiv:math 0801.2942）中得到了幂次上界估计。该文中的指数小于1/6，但可以略微改进。另一方面，一个简单估计表明下界为$\frac{c}{n}$。这里我们借鉴Nets Katz（MRL (1996), 527-536）和Bateman-Katz（arxiv:math/0609187v1 2006）论文中的思想，证明下界实际上可以改进为$c \frac{\log n}{n}$。这与Peres和Solomyak在Pacific J. Math. 204 (2002), 473-496中研究的{\em 随机}Cantor集的情况截然不同。