布丰针落在贝西科维奇不规则自相似集附近

本文得到了任意自相似康托尔集任意邻域的Favard长度的估计。考虑单位圆盘内半径为1/L的L个闭不相交圆盘。通过将小圆盘线性映射到单位圆盘，我们可以生成一个自相似康托尔集G。那么G = ∩_n G_n。然后可以问这些集合G_n的Favard长度——所有方向上正交投影到一条直线上的长度的平均值——作为n的函数衰减到零的速率。Favard长度问题的定量结果由Peres-Solomyak和Tao获得；在后一篇论文中，考虑了从贝西科维奇定理做出定量陈述的一般方法。但该方法相当一般，对于像G_n这样的自相似结构并不能给出好的估计。事实上，在这些情况下已经证明了大大改进的估计：在Nazarov-Peres-Volberg的论文中，表明对于1/4角康托尔集，存在p<1/6，使得Fav(K_n) ≤ c_p / n^p，并且在Laba-Zhai和Bond-Volberg的工作中，对于乘积康托尔集（具有额外的平铺性质）和谢尔宾斯基地毯S_n，对于其他一些p>0，证明了相同类型的幂次估计。在目前的工作中，我们给出了一个适用于任何自相似贝西科维奇集的估计。然而，该估计比幂次估计差。幂次估计似乎仍然与相应指数线性组合的零点的某种正则性性质有关（我们将此性质称为解析平铺）。