具有近极大Favard长度的集合的结构

设 $E \subset B(1) \subset \mathbb R^{2}$ 是一个 $\mathcal{H}^{1}$ 可测集且 $\mathcal{H}^{1}(E) < \infty$，并设 $L \subset \mathbb R^{2}$ 为线段且满足 $\mathcal{H}^{1}(L) = \mathcal{H}^{1}(E)$。易见 $\mathrm{Fav}(E) \leq \mathrm{Fav}(L)$。我们证明在近乎相等的情况下，即 $$\mathrm{Fav}(E) \geq \mathrm{Fav}(L) - \delta,$$ 集合 $E$ 可被一个 $\epsilon$-Lipschitz 图覆盖，至多差一个长度为 $\epsilon$ 的集合。$\epsilon$ 与 $\delta$ 之间的依赖关系是多项式的：事实上，结论对 $\epsilon = C\delta^{1/70}$ 成立，其中 $C > 0$ 为绝对常数。