拟对称映射的双利普希茨部分

衡量映射 $f:\mathbb{R}^{d}\rightarrow \mathbb{R}^{D}$ 被仿射变换逼近程度的一个自然量是 $$\omega_{f}(x,r)=\inf_{A}\left(\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}\left(\frac{|f-A|}{|A'|r}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}},$$ 其中下确界遍历所有非常数仿射变换。其自然性在于它在定义域或像中对 $f$ 进行缩放时具有不变性。我们证明，如果 $f:\mathbb{R}^{d}\rightarrow \mathbb{R}^{D}$ 是拟对称的且其像具有足够多的可求长结构（尽管不一定是 $\mathcal{H}^{d}$-有限的），则 $\omega_{f}(x,r)^{2}\frac{dxdr}{r}$ 是 $\mathbb{R}^{d}\times(0,\infty)$ 上的 Carleson 测度。此外，这是一个等价条件：此类 Carleson 测度的存在意味着，在每个球 $B(x,r)\subseteq \mathbb{R}^{d}$ 中，存在一个占据 $B(x,r)$ 90% 的集合 $E$（举例而言），使得 $f$ 在 $E$ 上是双利普希茨的（从而保证像中存在可求长片段）。在此过程中，我们对 Semmes 的一个定理做了微调，以证明从 $\mathbb{R}^{d}$ 的子集到 $\mathbb{R}^{d}$ 的拟对称映射在定量意义下在一个大子集上是双利普希茨的。