关于 E.M. Stein 关于矢量场上希尔伯特变换的一个猜想

设 $v$ 为平面上的光滑矢量场，即从平面到单位圆的映射。我们研究希尔伯特变换 $\operatorname H_{v, \epsilon}f(x) := \text{p.v.}\int_{-\epsilon}^ \epsilon f(x-yv(x)) \frac{dy}y$ 有界性的充分条件，其中 $\epsilon$ 是一个由矢量场光滑性质决定的适当选取的参数。E. M. Stein 提出一个猜想：如果 $v$ 是 Lipschitz 连续的，则存在一个正的 $\epsilon$，使得上述变换在 $L ^{2}$ 上有界。我们的主要结果给出了一个充分条件，该条件表述为与 $v$ 相关的极大函数的有界性。该充分条件要求这个新的极大函数在某些 $L ^{p}$ ($1<p<2$) 上有界。我们证明了对于所有 Lipschitz 矢量场，该极大函数是从 $L ^{2}$ 到弱 $L ^{2}$ 有界的。此外，我们还探讨了我们结果与其他已知充分条件之间的关系。