$\bR^3$ 中与超曲面相关的极大算子对于 $p>2$ 的精确 $L^p$ 估计

我们研究了与三维欧几里得空间中光滑超曲面 $S$ 相关的极大算子 $\M$ 的有界性问题。对于 $p>2$，我们证明如果不与 $S$ 相切的仿射切平面经过原点且 $S$ 是解析的，则相关的极大算子在 $L^p(\RR^3)$ 上有界当且仅当 $p>h(S)$，其中 $h(S)$ 表示曲面 $S$ 的所谓高度。对于非解析的有限型 $S$，除了指数 $p=h(S)$ 之外，我们得到了相同的结论。我们的高度 $h(S)$ 的概念与 A. N. Varchenko 对函数 $\phi$ 定义的高度 $h(\phi)$ 概念密切相关，使得 $S$ 在坐标旋转后可局部表示为 $\phi$ 的图像。本文讨论了该结果的几个推论。特别地，我们验证了 E.M. Stein 的猜想及其由 A. Iosevich 和 E. Sawyer 提出的推广，该猜想关于 $S$ 上曲面测度的 Fourier 变换衰减率与相关极大算子 $\M$ 的 $L^p$ 有界性之间的联系；并验证了 Iosevich 和 Sawyer 的另一猜想，即在三维情形下，将 $\M$ 的 $L^p$ 有界性与 $S$ 上到相切超平面距离函数的可积条件联系起来。特别地，我们还给出了 $S$ 上曲面测度 Fourier 变换的本质精确一致估计，从而将 V.N. Karpushkin 的结果从解析情形推广到光滑情形，并在我们的语境下隐式验证了 V.I. Arnol'd 的猜想。