与 $\Bbb R^3$ 中高度 $h<2$ 的超曲面相关的极大函数估计：第一部分

在本文中，我们继续研究极大算子 $M$ 的 $L^p$ 有界性问题，该算子与三维欧几里得空间中给定有限型光滑超曲面 $S$ 的各向同性膨胀上的平均相关联。大约七年前，最后两位作者与 M. Kempe 合作，针对给定曲面高度 h 至少为 2 的情况，给出了该问题一个基本完整的答案。在本文中，我们转向 $h<2$ 的情形。更确切地说，在本第一部分中，我们研究 $h<2$ 的情形，假设 $S$ 包含在给定点 $x^0\in S$ 的足够小邻域内，且 $S$ 在该点的两个主曲率均消失。在这些假设以及一个自然的横截性假设下，我们证明，如同 $h\ge 2$ 的情形，$M$ 有界性的临界勒贝格指数仍为 $p_c=h$，尽管该结果的证明需要新的方法，其中一些方法受到最后两位作者近期关于 $S$ 上傅里叶限制工作的启发。关于 $h<2$ 且 $S$ 在 $x^0$ 处恰有一个主曲率不消失的情形，结果将另文发表。