R^3中与超曲面的非各向同性膨胀相关的极大函数

本文的目标是建立与R^3中超曲面的非各向同性膨胀相关的极大函数的L^p估计。Greenleaf、Iosevich-Sawyer-Seeger、Ikromov-Kempe-Mueller和Zimmermann已经得到了若干结果，但对于某些情形，例如原点附近由光滑函数$\Phi(x_1,x_2)=x_2^d(1+\mathcal{O}(x_2^m))$的图像参数化的超曲面，其中$d\geq 2$, $m\geq 1$，以及关联的膨胀$\delta_t(x)=(t^ax_1,tx_2,t^dx_3)$（对于任意实数a>0），该问题直到最近仍是开放的。事实上，此类问题在更低维中也会出现。例如，我们考虑曲线$\gamma(x)=(x,x^2(1+\phi(x)))$及关联的膨胀$\delta_t(x)=(tx_1,t^2x_2)$。若$\phi\equiv 0$，则相应的极大函数即平面中沿抛物线的极大函数，由于Nagel-Riviere-Wainger等人的工作而被很好地理解。若$\phi\neq 0$且$\phi(x)=\mathcal{O}(x^m)$, $m\geq 1$，该问题直到最近仍是开放的，然而相应的极大函数展现出与Bourgain圆极大函数相关的特征，这需要Mockenhaupt-Seeger-Sogge为满足所谓“电影曲率”条件的傅里叶积分算子建立的深刻思想和局部光滑估计。然而，我们观察到在研究与上述曲线$\gamma(x)$及关联膨胀相关的M时，我们将考虑一族相应的傅里叶积分算子，它们不一致地满足“电影曲率条件”，这意味着经典的局部光滑估计不能直接应用于我们的问题。在本文中，我们发展新思想以克服上述困难，并最终建立与曲线$\gamma(x)$相关的极大函数的尖锐L^p估计......