环面上双参数平均的 $L^p$ 极大界与 Sobolev 正则性

我们研究由平均算子 $f\to \mathcal{A}_t^s f$ 在双参数环面族 $\mathbb{T}_t^{s}:=\{ ( (t+s\cos\theta)\cos\phi,\,(t+s\cos\theta)\sin\phi,\, s\sin\theta ): \theta, \phi \in [0,2\pi) \}$ 上定义的极大函数的 $L^p$ 有界性，其中对某个 $c_0\in (0,1)$ 有 $c_0t>s>0$。我们证明相应的（双参数）极大函数在 $L^p$ 上有界当且仅当 $p>2$。我们还得到了局部极大算子在 $p,q$ 的尖锐范围上的 $L^p$--$L^q$ 估计。此外，证明了尖锐光滑估计，包括算子 $f\to \mathcal A_t^s f$ 与 $f\to \mathcal A_t^{c_0t} f$ 的尖锐局部光滑估计。为此，我们利用了 Bourgain--Demeter 的锥脱耦不等式以及 Guth--Wang--Zhang 的二维波动算子局部光滑估计。