沿有限阶缺项方向集的希尔伯特变换的精确估计

设$D$为非负整数，${\mathbf{\Theta}}\subset S^1$为$D$阶缺项方向集。我们证明平面上极大方向希尔伯特变换的$L^p$范数($1<p<\infty$) $$H_{{\mathbf{\Theta}}} f(x):= \sup_{v\in {\mathbf{\Theta}}} \Big|\mathrm{p.v.}\int_{\mathbb R }f(x+tv)\frac{\mathrm{d} t}{t}\Big|, \qquad x \in {\mathbb R}^2,$$ 与$(\log\#{\mathbf{\Theta}})^\frac{1}{2}$可比。对于取值范围在$D$阶缺项集中且由利普希茨函数截断的适当组合生成的向量场$\mathsf{v}_D$，我们证明了沿向量场$\mathsf{v}_D$的截断希尔伯特变换 $$H_{\mathsf{v}_D,1} f(x):= \mathrm{p.v.} \int_{ |t| \leq 1 } f(x+t\mathsf{v}_D(x)) \,\frac{\mathrm{d} t}{t},$$ 对所有$1<p<\infty$是$L^p$有界的。这些结果推广了第一作者与Demeter以及Guo和Thiele先前的估计。