关于 $L^p(\mathbb R)$ 上算子 $aI+bH$ 的范数

我们针对 Kalton、Hollenbeck 和 Verbitsky \cite{HKV} 的如下定理给出直接证明：设 $H$ 为希尔伯特变换，$a,b$ 为实常数。则对于 $1<p<\infty$，从 $L^p(\mathbb R)$ 到 $L^p(\mathbb R)$ 的算子 $aI+bH$ 的范数等于 $$\bigg(\max_{x\in \Bbb R}\frac{|ax-b+(bx+a)\tan \frac{\pi}{2p}|^p+|ax-b-(bx+a)\tan \frac{\pi}{2p}|^p}{|x+\tan \frac{\pi}{2p}|^p+|x-\tan \frac{\pi}{2p}|^p} \bigg)^{\frac 1p}.$$ 我们的证明避免了如 \cite{HKV} 中那样经由圆上共轭函数的类似结果，而是直接在直线上给出。我们还给出了 $p>2$ 情形下 $aI+bH$ 的新的近似极值函数。