布丰针落于某些随机康托集附近的精确幂律

本文研究某些豪斯多夫维数为1的随机康托集的Favard长度。我们从平面中的单位圆盘开始，用圆内与单位圆盘相切且彼此等距的4个半径为1/4的不相交子圆盘替换单位圆盘。通过以自相似方式重复此操作并在每一步加入随机旋转，我们可生成一个随机康托集 {\cal D}(\omega)。令 {\cal D}_n 为构造中的第 n 代，其可与 {\cal D} 的 4^{-n} 邻域相比。我们感兴趣的是这些集合 {\cal D}_n 的 Favard 长度随 n→∞ 的衰减速率，即“布丰针”随机投下落入 {\cal D} 的 4^{-n} 邻域的可能性（差一常数因子）。在 [P. Mattila, Orthogonal projections, Riesz capacities, and Minkowski content, Indiana Univ. Math. J. 39 (1990), no. 1, 185-198] 中已知 {\cal D}_n(\omega) 的 Favard 长度下界为 n^{-1} 的常数倍。我们证明在平均意义下 {\cal D}_n(\omega) 的 Favard 长度上界对某个 C>0 为 C n^{-1}。我们还证明了 {\cal D}^d_n(\omega)（即度 d>4 的自相似随机康托集的 d^{-n} 邻域）的 Favard 长度具有类似的线性衰减。注意在非随机情形中，当自相似集的度大于4时，Favard 长度衰减速率的最佳已知结果为 e^{-c\sqrt{\log n}}。