由抛硬币树生成的康托集随机子集

我们引入了一种通过无限 $M$ 叉树的随机标号来构造 $[0,1]$ 中齐次康托集 $C$ 的随机子集的自然方法,其中 $M\geq 2$。康托集 $C$ 是满足以 $(0,1)$ 为开集的开集条件的等缩迭代函数系统 $\{f_1,\dots,f_N\}$ 的吸引子。对于固定的概率向量 $(p_1,\dots,p_N)$,无限 $M$ 叉树中的每条边独立地以概率 $p_i$ 被标号为 $i$,其中 $i=1,2,\dots,N$。因此,树中的每条无限路径都获得一个来自 $\{1,2,\dots,N\}$ 的随机标号序列。我们定义 $F$ 为那些在 $C$ 中具有等于从树根出发的某条无限路径标号序列的编码的点 $x\in C$ 所构成的(随机)集合。集合 $F$ 可视为具有极端重叠的统计自相似集,因此其 Hausdorff 维数与盒维数一致。我们证明了该维数的非平凡上界与下界,并在若干特殊情形中得到精确维数。例如,当 $M=N$ 且对每个 $i$ 有 $p_i=1/N$ 时,我们证明 $F$ 几乎必然在 $C$ 中具有满 Hausdorff 维数,但在其维数下 Hausdorff 测度为零。对于两个映射与二叉树的情形,我们还考虑了树的确定性标号,其中对固定整数 $m\geq 2$,每第 $m$ 条边被标号为 $1$,并计算了所得 $C$ 子集的精确 Hausdorff 维数。