有理乘积康托集的布丰投针估计

设$S_\infty=A_\infty\times B_\infty$为复平面上的自相似乘积康托集，通过$S_\infty=\bigcup_{j=1}^L T_j(S_\infty)$定义，其中$T_j:\C\to\C$具有形式$T_j(z)=\frac1{L}z+z_j$，且$\{z_1,...,z_L\}=A+iB$，对于某些$A,B\subset\rr$满足$|A|,|B|>1$且$|A||B|=L$。设$S_N$为$S_\infty$的$L^{-N}$-邻域，或等价地（相差常数倍），为其第$N$次康托迭代。我们感兴趣的是当$N\to\infty$时$S_N$的{\it Favard长度}的渐近行为，该长度定义为其一维投影的平均（关于方向）长度。如果集合$A$和$B$是有理的且基数至多为6，则$S_N$的Favard长度以$CN^{-p/\log\log N}$为上界，其中$p>0$。在关于这些集合的生成函数的某些隐含条件下，同样的结果对$A$和$B$的大小没有限制也成立。这推广了Nazarov-Perez-Volberg、{\L}aba-Zhai和Bond-Volberg的早期结果。