具有正下界的Sudler乘积的豪斯多夫维数估计

给定一个无理数$\alpha$，我们研究由$P_N(\alpha) = \prod_{r=1}^N 2\lvert \sin \pi r \alpha \rvert$表示的Sudler乘积的渐近行为。我们证明，只要$\alpha$的连分式展开中的部分商序列仅有限次超过3，就有$\liminf_{N \to \infty} P_N(\alpha) >0$和$\limsup_{N \to \infty} P_N(\alpha)/N < \infty$，这证实了第二作者的一个猜想，并部分回答了J. Shallit的一个问题。此外，我们证明满足$\limsup_{N \to \infty} P_N(\alpha)/N < \infty,\liminf_{N \to \infty} P_N(\alpha) >0$的那些$\alpha$构成的集合的豪斯多夫维数介于$0.7056$和$0.8677$之间，这在Aistleitner、Technau和Zafeiropoulos提出的一个问题中取得了重大进展。我们还证明此类$\alpha$的集合在高斯映射$T$下是不变的。