关于随机极化序列收敛速率的注记

Burchard 和 Fortier 证明了，对于支撑在半径为 $L$ 的球中的本性有界函数 $f$，其 $f^*$ 与 $n$ 次随机极化之间的期望 $L^1$ 距离以 $2dm(B_{2L})||f||_{\infty}n^{-1}$ 为界。本文补充并推广了这一结果。对于每个 $f \in W_{1,1}(B_L) \cap L^{\infty}(B_L)$，期望 $L^1$ 距离以 $c_nn^{-1}$ 为界，其中 $\limsup_{n\rightarrow \infty}c_n \leq 2^{d+1}||\nabla f||_1$。此外，对于 $f \in L^p(B_L)$ 且 $p>1$ 和 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，期望 $L^1$ 距离为 $O(n^{-1/q})$。速率 $n^{-1}$ 是最优的：球的随机极化与其对应的 Schwarz 对称化之间的对称差测度乘以 $n$ 依分布收敛到一个随机变量，并导出了其各阶矩。还证明了，对于 $B_L$ 中可测集的随机极化与其对应的 Schwarz 对称化之间的期望对称差，对于任意 $r>2d$，其衰减速度慢于 $n^{-r}$；并且如果该速率为 $n^{-1}$，则该集合的随机极化与其对应的 Schwarz 对称化之间的对称差测度乘以 $n$ 依分布收敛。引入了一种新的随机极化序列，使得其转移概率依赖于底层马尔可夫链的状态。对于具有有限周长的紧集，当 $d=1$ 时收敛速率为 $O(n^{-3/2})$，当 $d>1$ 时为 $O(n^{-(1 + \frac{d-1}{d(d+1)})})$。最后证明了，对于 $\mathbb{R}$ 中每个具有有限周长的紧集 $A$，存在 $A$ 的极化序列 $A_n$ 以指数速度收敛到其 Schwarz 对称化。