关于 Monge-Amp\`ere 方程的最小二乘方法误差估计与自适应

我们提出了一种用于求解光滑 Monge--Amp\`ere 方程在凸多边形域 $\mathbb{R}^2$ 上，基于最小二乘法的 novel a posteriori 误差指示器。每个迭代步骤将问题解耦为 (i) 一个点态非线性最小化问题和 (ii) 一个线性双调变分问题。对于后者，我们推导了等价于带有 Navier 边界条件的双调问题，并通过混合分片线性有限元求解。将其重新表述为耦合的二阶系统，我们推导了 a priori 和 a posteriori $\mathbb{P}^1$ 有限元误差估计，并设计了一个 robust 自适应网格细化策略。数值测试表明，不同范数中的误差按适当的比例扩展。最后，我们展示了 a posteriori 指示器在引导网格细化中的有效性。