关于Monge-Amp\`ere方程最小二乘分割方法的收敛性分析

我们研究了针对Monge-Amp\`ere方程的非线性最小二乘分割方法的理论收敛性。该方法的每一次迭代将点态非线性从微分算子中解耦，包含一个局部非线性更新步骤，随后依次求解两个序列的Poisson型椭圆问题。虽然该方法在计算中表现良好，但尚无严格的收敛理论。我们观察到，该迭代可重构为在Sobolev空间$H^m$, $m\ge 0$上的交替投影方案。在解处，投影映射的G\^ateaux微分是对应切空间上的线性投影。我们证明了这些切空间是横向的，因此交替投影映射的线性化在经典的Hilbert空间交替投影理论下为收缩映射。基于这种几何特征，我们在二维环面$\mathbb{T}^2$上，对于初始数据足够接近解$u\in H^4$的情况下，证明了该分割方法在$H^2$中的线性收敛。据我们所知，这是该分割方法在周期情境下首个严格的收敛结果，为其观察到的数值鲁棒性提供了函数分析解释。