Banach 空间上 Fredholm 算子的扩张后等价与 Schur 耦合

Schur 耦合（SC）与扩张后等价（EAE）是 Banach 空间上有界算子的重要关系。三十年来已知前者蕴含后者，但直到最近 Ter Horst、Messerschmidt、Ran 和 Roelands 通过构造一对 EAE 但不 SC 的 Fredholm 算子反驳了逆命题。受此结果启发，我们研究 Fredholm 算子上 EAE 与 SC 何时重合。EAE 的 Fredholm 算子具有相同的 Fredholm 指数。令人惊讶的是，我们发现对于每个整数 $k$ 和每一对 Banach 空间 $(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，要么作用在 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 上指数为 $k$ 的 Fredholm 算子对都不 SC，要么此类中每一对 EAE 的算子对也都 SC。因此，EAE 与 SC 对指数为 $k$ 的 Fredholm 算子是否重合的问题仅依赖于底层 Banach 空间 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 的几何性质，而非算子本身的性质。我们通过引入两个数值指标来量化这一发现，这两个指标刻画了 EAE 与 SC 的重合性，并给出若干示例说明这些指标的可能取值。值得注意的是，其中包含一例表明上述 Ter Horst 等人基于一对本质不可比较 Banach 空间的结果，并不能推广到射影不可比较的 Banach 空间。