扩张后等价与 Schur 耦合在本质上不可比较的 Banach 空间上并不重合

1994 年，H. Bart 与 V. É. Tsekanovskii 提出如下问题：Banach 空间算子关系中的矩阵耦合（MC）、扩张后等价（EAE）与 Schur 耦合（SC）是否重合，仅留下 EAE/MC $\Rightarrow$ SC 这一蕴含关系未决。尽管已有若干肯定性结果，本文表明一般而言答案是否定的。这源于对算子作用于本质上不可比较的 Banach 空间时 EAE 与 SC 的完整刻画，该刻画亦给出本质不可比较性概念的新特征。具体而言，对于 $1\leq p,q\leq \infty$ 且 $p\neq q$，在 $\ell^p$ 上的前向移位算子 $U$ 与在 $\ell^q$ 上的前向移位算子 $V$ 是 EAE 而非 SC。作为推论，SC 不具有传递性。在温和假设下，给定互为 Atkinson 或广义可逆且 EAE 的 $U$ 与 $V$，我们给出一个具体的算子 $W$，其与 $U$ 和 $V$ 均 SC，即便 $U$ 与 $V$ 彼此不 SC。本文还获得了 Banach 空间同构情形下若干进一步的肯定性结果。