$c_0$ 与 $C(K)$ 空间的扩张算子与扭曲和

我们研究了由Cabello Sánchez、Castillo、Kalton和Yost提出的以下问题：设 $K$ 为一个不可度量化的紧空间。是否存在 $c_0$ 与 $C(K)$ 的非平凡扭曲和，即是否存在一个Banach空间 $X$，包含一个非互补的 $c_0$ 副本 $Z$，使得商空间 $X/Z$ 同构于 $C(K)$？利用额外的集合论假设，我们首次给出了对该问题提供否定答案的紧空间 $K$ 的例子。我们证明，在马丁公理和连续统假设的否定下，如果 $K$ 是康托尔立方体 $2^{\omega_1}$，或者 $K$ 是一个高度为 $3$、权为 $\omega_1$ 的可分分散紧空间，那么 $c_0$ 与 $C(K)$ 的每一个扭曲和都是平凡的。我们还对属于若干紧空间类的 $K$ 构造了 $c_0$ 与 $C(K)$ 的非平凡扭曲和。我们的主要工具是对不承认扩张算子 $C(K)\to C(L)$ 的紧空间对 $K\subseteq L$ 的研究。