高维空间中具有部分调和约束的聚焦非线性薛定谔方程的动力学

我们研究了具有部分调和约束的聚焦临界间非线性薛定谔方程：\begin{equation*} \begin{cases} i\partial_t u+\Delta_{z}u-y^2 u =- |u|^{\alpha}u,\quad t\in \mathbb{R},\newline u(0,z)= u_0(z), \ z=(x,y)\in \mathbb{R}^d\times \mathbb{R}, \end{cases} \end{equation*} 其中 $d \geq 1$ 为整数，指数 $\alpha$ 满足 \begin{equation}\label{assumption} \frac{4}{d}< \alpha<\begin{cases} \frac{4}{d-1}, \,\,\text{若} ~~ d\geq 2;\newline + \infty,\,\,\text{若} ~~ d=1. \end{cases} \end{equation*} 对于该模型，A. Ardia 和 R. Carles [Comm. Math. Sci. 19 (2021), 993-1032] 通过集中紧性与刚性论证在 $d \leq 4$ 维中建立了基态阈值以下的尖锐散射结果。然而，由于非线性项缺乏光滑性，其方法在高维中失效。本文引入一种新策略，通过绕过集中紧性原理来消除这一维数限制并将其结果推广到高维。本工作的主要工具是相互作用 Morawetz-Dodson-Murphy 估计以及基态阈值的替代变分刻画。