动态卡阻之外的动力学：Painlevé 悖论奇点的展开

本文详细分析了 G\'enot-Brogliato 点（俗称 G 点）邻域内的动力学，该点在物理上表示具有单边接触和库仑摩擦的刚体力学中所谓的动态卡阻。这类奇点出现在具有滑动点接触的平面刚体问题中，位于起飞条件与 Painlev\'e 悖论条件的交点处。在一般问题类别中，一个初始条件的开集可以在有限时间内逼近 G 点。所探讨的关键问题是接下来会发生什么。原则上，轨迹至少可以瞬时起飞、继续滑动，或经历所谓的无碰撞冲击。这类冲击在动量空间中是非局部的，并且依赖于在远离 G 点处评估的性质。结果在一个具体的物理例子上得到了说明，即 Leine 等人首先研究的摩擦冲击振荡器。该答案是通过包含与刚度成正比（比例系数为 $1/\varepsilon^2$）的一致接触正则化的分析获得的。取 $\varepsilon \to 0$ 的奇异极限，在 G 点邻域内可发现内渐近区和外渐近区。根据逼近 G 点时接触力变为无穷大还是保持有限，发现了两种不同的情况。在前一种情况下，论证表明不可能存在此类 canard，因此必然发生无碰撞冲击。在后一种情况下，canard 轨迹作为在发生冲击前瞬时起飞与不起飞的轨迹之间的分界面。结果表明，导致每种结果的初始条件集的取向在某个正参数 $\beta$ 每次通过整数时都会发生改变。