接触力学中的 Painleve 悖论

这个已有120年历史的所谓 Painleve 悖论涉及平面刚体与刚性表面点接触模型中的确定性丧失，该模型受类库仑干摩擦作用。该现象由于法向与转动自由度之间的耦合而产生，使得有效法向力变为吸引而非排斥。尽管文献丰富，除了二维单接触点的某些受限情况外，前向演化问题仍未解决。我们重新审视了该理论的多种实际后果，包括机器人操纵器模型，以及粉笔在黑板上被推而非拖时的奇怪行为。回顾近期理论，提出了一种通用公式，包括泊松或能量冲击定律。讨论了具有单接触点的二维一般问题，并列举了不一致或不确定性的情况。从动力系统角度讨论了通过接触正则化解决该悖论的策略。通过取无限刚度极限并允许无碰撞冲击，表明不一致和不确定情况在所有开放条件集上可解。然而，详细讨论了可在有限时间内达到的两个不可避免的模糊性，即所谓的动态卡死和反向颤动。部分回顾了具有两个接触点的二维情况，展示了更复杂的不一致和不确定性如何产生。简要考虑了推广到全三维分析，并表明会导致进一步可能的奇异性。最后，强调了 \pain paradox 的普遍性并讨论了开放问题。