动态等周问题与拉格朗日相干结构的几何

输运和混合过程的研究对于物理系统的数学模型分析尤为重要。我们提出了一种新颖的直接几何方法，用于识别在有限时间跨度内保持强相干性的相空间子集。这一新方法基于经典（静态）等周问题的动态扩展；后者关注的是识别相对于其体积具有最小边界尺寸的子流形。本文引入了\emph{动态}等周问题；即研究集合在被一般动力系统演化时，其相对于体积的边界尺寸保持较小的特性。我们 formulate 并证明了基本（静态）等周（不）等式的动态版本：动态 Federer-Fleming 定理和动态 Cheeger 不等式。我们引入了一种新的动态拉普拉斯算子，并描述了一种基于动态拉普拉斯算子特征函数来识别相干集的计算方法。我们的结果包括关于有限时间相干集几何性质的正式数学陈述，其边界可被视为拉格朗日相干结构。我们新方法在计算上的优势在于动态拉普拉斯算子具有分离良好的谱，以及在适当数值近似方法上的灵活性。最后，我们证明了动态拉普拉斯算子可以实现为一种新近发展的基于小扩散的概率转移算子方法（Froyland, 2013）的零扩散极限，该方法用于寻找相干集。因此，本方法自然地与概率方法（Froyland, 2013）并列，并增加了正式的几何解释。