辛对偶极图的二重覆盖

设 $\Gamma=\Gamma(2n,q)$ 为 $Sp(2n,q)$ 型的对偶极图。该图的基础是一个定义在奇数阶域 ${\mathbb F}_q$ 上的 $2n$ 维向量空间 $V$，以及一个辛形式（即非退化交错双线性形式）$B:V\times V\to{\mathbb F}_q$。$\Gamma$ 的顶点集是 $V$ 的所有 $n$ 维全迷向子空间的集合 ${\mathcal V}$。若 $q\equiv1$ mod 4，我们从 $\Gamma$ 得到一个定义在 ${\mathcal V}$ 上的非平凡二图 $\Delta=\Delta(2n,q)$，其在 $PSp(2n,q)$ 下不变。该二图对应于一个二重覆盖 $\widehat{\Gamma}\to\Gamma$，其上自然定义了一个具有 $2|{\mathcal V}|$ 个顶点的 $Q$-多项式 $(2n+1)$ 类结合方案。