分布分数阶梯度与 Bourgain-Brezis 型估计

在本文中，我们将 Mazowiecka-Schikorra 中提出的分数阶梯度定义推广到 $\R^n$ 上的缓增分布，引入相应的正则化过程，并建立了分布分数阶梯度在 $L^{1}_{od}$ 中的一些初步正则性结果。关键特征是引入了一个合适的非对角 Schwarz 函数空间 $\mathcal{S}_{od}(\R^{2n})$，从而借助定义在 $\mathcal{S}_{od}(\R^{2n})$ 上的分数阶散度，在适当的分布空间 $\mathcal{S}^{\prime}_{od}(\R^{2n})$ 上给出分数阶梯度的对偶定义。在本文过程中，我们首次尝试在此框架下定义负指数 Sobolev 空间，并推导出一个令人联想到 Bourgain-Brezis 以及 Da Lio-Rivière-Wettstein 的结果，即针对此类梯度的分数阶 Bourgain-Brezis 不等式。